Beke Péter pályafutását Tárnokon kezdte, mielőtt megfordult volna a Ferencváros utánpótláscsapataiban, a Dalnoki Akadémián nevelkedett. A fővárosi zöld-fehérektől 2017-ben távozott és a Hamburg akadémiájára igazolt, ahol végigjárta a korosztályos csapatokat és a mögöttünk hagyott idényben hét mérkőzésen három gólt szerzett.

Beke Péter hároméves szerződést kötött a zalaegerszegiekkel. Mint elmondta, izgatott, hogy egy nagy múltú együtteshez igazolhatott haza az NB I-ben és fiatalként megmutathatja, mire képes a felnőtt futballban.